QUADRATI E DIAGONALI

-QUADRATI E DIAGONALI-

teoria e soluzioni pratiche

Nel 1991 usciva nelle edicole un volumetto curato da Domenico Manna dal titolo "La Ciclometria – armonie e simmetrie nel gioco del Lotto", edito da "Totocorriere". Si trattava di un fascicolo in cui era contenuta l’essenza della Ciclometria, dai confusi e preziosi accenni di Fabarri alle figure inscritte nel cerchio ciclometrico da Ciro Vitale, fino ad arrivare all’introduzione di quella che Mimmo definì come la "vera" Ciclometria: la Goniometria numerica.

Con il passare degli anni quell’opera è diventata un vero e proprio classico della materia, se è vero com’è vero che da parte degli appassionati che ne hanno sentito parlare è ancora richiesta.

Una delle parti più interessanti l’autore la dedicò all’esposizione di ciò che denominò come "Teorema della Diagonale" (in seguito lo indicheremo brevemente con "TdG"), uno dei cardini della geometrizzazione degli eventi. Ne abbiamo anche parlato attraverso il forum, esponendo una nostra applicazione molto generosa quanto ad esiti.

Ma vediamo di cosa tratta questo Teorema.

Innanzitutto bisogna portarsi un attimo indietro e spiegare, a chi non lo sapesse, cosa si intende per "Triplo Differenziale" (in seguito abbreviato con "TD"). All’uopo prendiamo ad esempio i quattro numeri 5-42-46-87. Poniamoli in quadrato, disponendoli in senso crescente secondo l’ordine orario:

A questo punto si calcolano le distanze tra i vertici posti ai lati orizzontali, verticali e diagonali:

ORIZZONTALI	VERTICALI	DIAGONALI
87 – 5 = distanza 8	87 – 46 = distanza 41	87 – 42 = distanza 45
46 – 42 = distanza 4	42 – 5 = distanza 37	46 – 5 = distanza 41

A questo punto, se provassimo a calcolare le differenze intercorrenti tra i due valori delle tre coppie fin qui ottenute otterremmo un unico valore, che viene definito Triplo Differenziale. Abbiamo infatti:

ORIZZONTALI:	8 – 4=	4;
VERTICALI:	41 – 37 =	4;
DIAGONALI:	45 – 41 =	4;

Fin qui nulla di strano, si tratta di una caratteristica di particolari formazioni quadratiche portata alla luce dal grande Fabarri moltissimi anni fa. Essa rappresenta il parametro sul quale il Manna si basò per evidenziare il suo "TdG". Ma andiamo con ordine.

Abbiamo appena detto che la caratteristica è propria di "particolari" formazioni quadratiche. Non di tutte quindi. Allora quali particolarità devono possedere queste formazioni affinché si abbia la certezza che il differenziale ultimo sia uguale nei tre casi? Innanzitutto c’è bisogno che tra due dei quattro numeri che compongono il "quadrato" intercorra la differenza 45. Non solo. Questi due numeri, posti i quattro in senso crescente (o decrescente, è la stessa cosa), devono apparire ai vertici di una delle due diagonali. Se preferite, potete disporre in riga in senso crescente i quattro numeri e verificare che i due che hanno differenza 45 compaiano al 1° e 3° posto oppure al 2° ed al 4°. Nel caso proposto ad esempio, abbiamo, infatti:

I due numeri "diametrali", come vedete, compaiono in diagonale e il "TD" si verifica (lo abbiamo calcolato, ed è pari a 4). Semplificando la cosa, ponendo i quattro numeri in serie crescente:

5-42-46-87

Come vedete, i numeri della coppia a differenza 45 appaiono al 2° e al 4° posto.

Dunque in mancanza di questi requisiti, qualsiasi fossero i quattro numeri considerati, non si potrebbe riscontrare la caratteristica del "TD". Ciò lo si potrebbe dimostrare facilmente con l’uso dell’algebra, ma evitiamo per non "appesantire" lo scritto.

Riprendiamo i quattro numeri presi ad esempio e proviamo ad effettuare l’operazione contraria: sommare al posto di sottrarre:

ORIZZONTALI	VERTICALI	DIAGONALI
87 + 5 = somma 2	87 + 46 = somma 43	87 + 42 = somma 39
46 + 42 = somma 88	42 + 5 = somma 47	46 + 5 = somma 51

Alla stregua di quanto fatto per il quadro delle distanze, sommiamo le tre coppie parziali:

ORIZZONTALI:	2 + 88 =	90;
VERTICALI:	43 + 47 =	90;
DIAGONALI:	39 + 51 =	90.

Anche in questo caso otteniamo un unico valore, che Fabarri denominò "Triplo Sommativo" (per brevità nel seguito lo indicheremo con l’abbreviazione "TS"). In pratica si tratta di ciò che in seguito gli esperti dell’operazione di "quadratura" avrebbero poi ridenominato come "somma delle somme". Ma il "TS", al contrario del "TD", si verifica con qualsiasi serie di quattro numeri prendessimo in considerazione (anche qui è semplice dimostrarlo algebricamente). Allora perché lo abbiamo fatto oggetto di attenzione in questo caso? La risposta è: avete notato che il "TS" dei quattro elementi presi ad esempio è pari a 90? Il grande Manna si imbatté casualmente in una formazione con queste due caratteristiche (una diagonale 45 e il "TS" pari a 90, il cui totale, chiaramente, risulta 45) per studiarne le peculiarità e per giungere alla conclusione che:

"Una figura quadrangolare è armonica quando la somma delle somme dei lati orizzontali oppure verticali o delle diagonali, più la misura di una delle due diagonali, fa in totale 45".

Nacque così il Teorema della Diagonale, che riscosse molti consensi tra i ciclometristi dell’epoca (siamo nel 1983), tra i quali il dr. Antonino Crupi che colse anche l’occasione per compilare un listato che girava con il famigerato Commodore 64.

La formulazione del TdG suggerisce la possibilità di costruire quadrati armonici anche non conoscendo tutti e 4 i vertici. E’ ciò che vedremo in seguito.

Antonio FIACCO

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-2^ parte-

Abbiamo accennato al fascicolo di Manna "La Ciclometria" uscito nelle edicole nel 1991, nel quale il grande studioso presentava una applicazione su quelle particolari formazioni quadratiche denominate da Fabarri "quadrati armonici", in quanto aventi una doppia particolarità:

1. presenza del Triplo Differenziale;
2. somma delle somme pari a 90.

La concomitanza di queste caratteristiche non portava ad altro che al rispetto di quello che sarebbe stato denominato da Manna come "Teorema della Diagonale". Infatti se una formazione ha la caratteristica del "TD" è matematicamente certo che ha almeno una diagonale che misura 45 unità, e se la somma delle somme è pari a 90 unità è ovvio che il totale tra quest’ultima ed almeno una delle due diagonali dia 45 (in pratica ciò che afferma il "TdG" di Manna). E’ per questo che dicemmo che il Manna per formulare il suo Teorema fu ispirato anche dal rilievo di quelle formazioni quadratiche la cui notorietà è dovuta a Fabarri.

Finora abbiamo parlato per sommi capi della parte teorica della cosa. Vediamo allora di sintetizzare il tutto con qualche esempio pratico. Avvertiamo che non abbiamo certo la pretesa di indicare delle tecniche standard ma solo il piacere di fornire degli spunti tali da mettere chi legge nelle condizioni di comprendere appieno quali possano essere gli sviluppi, come al solito tanti, che possono scaturire dall’applicazione di quanto finora solo teorizzato.

Il seguente esempio rappresenta praticamente in modo egregio tutto quanto detto.

Scegliamo una coppia di numeri tra i quali intercorra la distanza 45 (cioè due numeri diametrali), estratti su due ruote diverse e che non occupino la stessa posizione. I numeri 33 e 78 estratti rispettivamente al 4° posto di Bari ed al 1° di Genova nell’estrazione n° 14/2000 fanno al caso nostro. Guardiamo ai due numeri che coprono gli "scarti": al 1° posto di Bari abbiamo il 54 ed al 4° di Genova il 57. Formiamo due quadrati in questo modo:

Le due incognite è semplicissimo calcolarle. Se infatti il nostro intento è quello di costruire dei quadrati che rispettino l’enunciato del "TdG" e abbiamo già a disposizione una diagonale 45, è ovvio che c’è bisogno che la somma delle somme risulti uguale a 90. Basterà quindi semplicemente calcolare il complemento a 90 della somma dei tre numeri noti per avere anche il quarto vertice, l’incognita che cerchiamo:

1. 54 + 33 + 78 = 75 è 90 – 75 = 15;
2. 33 + 57 + 78 = 78 è 90 – 78 = 12.

Ecco trovate le nostre due incognite. Nel primo quadrato va innestato il 15 e nel secondo il 12:

I due quadrati rispettano entrambi le caratteristiche dettate dal "TdG". Infatti:

1. 54 + 33 + 15 + 78 + 45 = 90
2. 12 + 33 + 57 + 78 + 45 = 90

La presenza del 45 nei due calcoli ovviamente è riferita alla misura di una delle due diagonali. Cosa ne facciamo di questi due nuovi numeri? Andandone a controllare le evoluzioni sulle due ruote del rilievo iniziale scopriamo che dopo 6 estrazioni uscirono entrambi sulla ruota di Bari!

Un caso estremamente fortunato ma che lascia indubbiamente pensare molto. Aldilà di ciò, questo esempio presenta ancora una particolarità che all’occhio del ciclometristi attento non può essere sfuggita. Torniamo un attimo indietro e analizziamo il secondo dei due quadrati costruiti:

In realtà, inserendo come quarto numero il 12, non abbiamo fatto altro che completare una formazione dotata di altissimo grado armonico: un rettangolo. E dal momento che la somma delle somme è 90, è chiaro che non si tratta di un rettangolo "normale" ma, ci si passi l’espressione, ancora più simmetrico. Si hanno cioè due coppie di ambi diametrali (12-57 e 33-78) ma anche due coppie di numeri complementari (12-78 e 33-57). Queste formazioni hanno una particolarissima caratteristica, per la quale anni fa li denominammo propriamente "quadrati a triplo zero".

Ovviamente stiamo parlando di un caso particolare che non va ad innestarsi nello standard di questa pseudo tecnica ma che viene riportato proprio per avvalorare l’invito ad approfondire sempre e comunque le cose. La curiosità è il sale della ricerca, se questa viene portata avanti con zelo e passione!

Calcoliamo il "TD" del quadrato in esame:

DIST. ORIZZONTALI DIST. VERTICALI DIST. DIAGONALI

33 – 12 = distanza 21; 57 – 33 = distanza 24; 57 – 12 = distanza 45;

78 – 57 = distanza 21; 12 – 78 = distanza 24; 78 – 33 = distanza 45.

A quanto ammonta il Triplo Differenziale? A "0". Infatti:

21 – 21 = 0; 24 – 24 = 0; 45 – 45 = 0;

E il Triplo Sommativo? Vediamo:

SOMME ORIZZONTALI SOMME VERTICALI SOMME DIAGONALI

12 + 33 = somma 45; 57 + 33 = somma 90; 57 + 12 = somma 69;

78 + 57 = somma 45; 12 + 78 = somma 90; 78 + 33 = somma 21.

Ci sembra inutile riportare il quadro delle somme relativo ai totali parziali. Il "TS", si vede facilmente, è pari a 90. Come tutti coloro che hanno avuto modo di seguire i nostri articoli nel corso degli anni sanno, nell’aritmetica cui si riferisce l’insieme ciclico dei numeri contenuti nell’urna del nostro Lotto, il 90 si identifica anche con lo 0. In pratica è l’elemento neutro del modulo.

Tornando al nostro esempio, abbiamo quindi una particolarissima serie di 4 numeri che compongono un "quadrato a triplo zero": formazioni molto rare da riscontrare nel tessuto estrazionale. E’ chiaro che noi in realtà abbiamo usato un artifizio per rintracciarla completamente, quello cioè di avere 3 numeri in una estrazione e, dato che il calcolo lo aveva evidenziato, il 4° numero in un'altra estrazione. Ebbene, ricordate:

"Tutto ciò che è armonico è destinato a rompersi nel ciclo di frequenza"

(D.Manna)

"Tutto ciò che è realmente armonico è destinato a rompersi rapidamente"

(A.Fiacco)

Non vi sono dubbi di sorta in merito ai "quadrati" del tipo analizzato: essi sono inequivocabilmente dotati di un altissimo grado di simmetria, pertanto certamente armonici.

Passano 7 estrazioni e il quadrato da noi posto in essere, che il Caso ha voluto comporre interamente seppure in due estrazioni distinte, collassa: terno 12-33-57 a Genova.

Un esempio più recente. All’estrazione del 16.8.2003 su Bari viene estratta la coppia 19-18 (3° e 4° posto); nella stessa estrazione abbiamo a Napoli 26, 3° estratto, e 64, 4° estratto. Lo sviluppo prevede che nei due quadrati ipotizzati vadano innestati da una parte il 79 e dall’altra il 71. Questa volta non c’è la concomitanza dei due estratti, ma al 9° colpo escono a Napoli 71 e 64. Nello stesso tempo, così come abbiamo moltissime volte detto nei nostri articoli, ci sono la composizione e la rottura simultanee…

Antonio Fiacco

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-3^ parte-

Abbiamo visto come l’applicazione del Teorema della Diagonale possa portare all’individuazione di formazioni caratteristiche destinate a produrre lusinghieri risultati. Ovvio, qui non si tratta né di una chiave magica e tantomeno del toccasana per le tasche di chi gioca, ma solo di un modello che, se applicato correttamente, può guidare il giocatore nella scelta di elementi logicamente probabili.

Finora abbiamo impostato le cose per modo che il teorema trovi applicazione su formazioni complete solo per ¾, cioè "monche" di un elemento, per modo da calcolarne un quarto che si innesti armonicamente nel costrutto parziale base. Ovviamente è su questo numero che ruota praticamente il gioco. Ma avanziamo un’ipotesi:

se disponessimo di soli due numeri e non di tre, sarebbe possibile ugualmente costruire un "quadrato" che rispetti l’enunciato del teorema?

A certe condizioni e adottando qualche semplice accorgimento, ciò è possibile.

Prendiamo ad esempio il seguente "quadrato":

Come potete facilmente notare, abbiamo ipotizzato due numeri noti* e due incogniti. Come facciamo a calcolare il valore da assegnare alle incognite? Arriviamoci con logica.

* NOTA: i numeri noti NON devono essere entrambi pari o entrambi dispari

Dunque, sappiamo che il teorema afferma che la somma delle somme del quadrato addizionata alla misura di una delle due diagonali deve dare come risultato 45. Cos’è la somma delle somme? Come gli appassionati di Ciclometria sanno, essa non è altro che la somma dei quattro componenti del quadrato. Nel nostro esempio quindi la somma delle somme (la abbreviamo con "SdS") è:

SdS = x + 84 + y + 35; è SdS = x + y + 29;

Al valore della "SdS" dobbiamo aggiungere il valore di una delle due diagonali ed eguagliare il tutto a 45. Il primo problema starebbe quindi nell’assegnare un certo valore alla diagonale da inserire nell’equazione. Trattasi di un finto problema, giacché il nostro intento è quello di ottenere un "quadrato" ciclometrico, il quale, come tutti sapete, ha le diagonali di eguale misura. E’ chiaro allora che il valore della diagonale ce l’abbiamo già, ed è quello che corrisponde alla distanza tra i due numeri noti (ecco perché i due numeri noti li abbiamo inseriti in diagonale!). L’equazione quindi diventa la seguente:

x

+ y + 29 + 41 = 45; è x + y = 45 – 29 – 41; è x + y = –25 = 65 (cioè –25 + 90).

Dove la misura della diagonale è 41. Siamo a questo punto nelle piene condizioni di poterci ricavare le due incognite, sfruttando un teorema algebrico molto usato dallo stesso Fabarri. Conosciamo la somma che devono avere le due incognite (l’abbiamo appena calcolata, ed è 65). La differenza la possediamo fin dall’inizio (ricordate sempre la nota di poc’anzi: abbiamo a che fare con un quadrato ciclometrico, le cui diagonali sono quindi uguali tra loro), ed è 41. Risalire alla coppia di incognite, conoscendone i valori di somma e differenza è un gioco da ragazzi:

1° numero: si addiziona la somma alla differenza e il totale si divide per 2;

2° numero: si sottrae dal valore di somma il valore del 1° numero.

Vediamo:

1° numero:

2° numero: 65 – 53 = 12;

Ecco che siamo risaliti all’intero quadrato:

Abbiamo comunque un altro quadrato, simile a quello calcolato, che dobbiamo matematicamente considerare, ed è quello che si forma con i diametrali delle due incognite calcolate:

In parentesi abbiamo indicato le distanze dei lati comuni e della diagonale. Notate come:

12 + 35 + 53 + 84 + 41 = 45; è 8 + 35 + 57 + 84 + 41 = 45;

La somma delle somme addizionata alla misura della diagonale dà un totale di 45. Ci eravamo prefissi lo scopo di arrivare a costruire un quadrato ciclometrico che rispettasse il Teorema della Diagonale di Manna partendo da due soli numeri? Con l’uso di un pizzico di logica e di qualche semplice calcoletto ci siamo arrivati.

Come possiamo applicare praticamente questa nuova scoperta? Non mancate di visitare questa sezione del sito prossimamente…

Antonio Fiacco