-QUADRATI E DIAGONALI-
teoria e soluzioni pratiche
Nel 1991 usciva nelle edicole un volumetto curato da Domenico
Manna dal titolo "La Ciclometria – armonie e simmetrie nel gioco del Lotto",
edito da "Totocorriere". Si trattava di un fascicolo in cui era contenuta
l’essenza della Ciclometria, dai confusi e preziosi accenni di Fabarri alle
figure inscritte nel cerchio ciclometrico da Ciro Vitale, fino ad arrivare
all’introduzione di quella che Mimmo definì come la "vera" Ciclometria: la
Goniometria numerica.
Con il passare degli anni quell’opera è diventata un vero e
proprio classico della materia, se è vero com’è vero che da parte degli
appassionati che ne hanno sentito parlare è ancora richiesta.
Una delle parti più interessanti l’autore la dedicò
all’esposizione di ciò che denominò come "Teorema della Diagonale" (in seguito
lo indicheremo brevemente con "TdG"), uno dei cardini della geometrizzazione
degli eventi. Ne abbiamo anche parlato attraverso il forum, esponendo una nostra
applicazione molto generosa quanto ad esiti.
Ma vediamo di cosa tratta questo Teorema.
Innanzitutto bisogna portarsi un attimo indietro e spiegare, a
chi non lo sapesse, cosa si intende per "Triplo Differenziale" (in seguito
abbreviato con "TD"). All’uopo prendiamo ad esempio i quattro numeri 5-42-46-87.
Poniamoli in quadrato, disponendoli in senso crescente secondo l’ordine
orario:
A questo punto si calcolano le distanze tra i vertici posti ai
lati orizzontali, verticali e diagonali:
ORIZZONTALI | VERTICALI | DIAGONALI |
87 – 5 = distanza 8 | 87 – 46 = distanza 41 | 87 – 42 = distanza 45 |
46 – 42 = distanza 4 | 42 – 5 = distanza 37 | 46 – 5 = distanza 41 |
A questo punto, se provassimo a calcolare le differenze
intercorrenti tra i due valori delle tre coppie fin qui ottenute otterremmo un
unico valore, che viene definito Triplo Differenziale. Abbiamo infatti:
ORIZZONTALI: | 8 – 4= | 4; |
VERTICALI: | 41 – 37 = | 4; |
DIAGONALI: | 45 – 41 = | 4; |
Fin qui nulla di strano, si tratta di una caratteristica di particolari formazioni quadratiche portata alla luce dal grande Fabarri moltissimi anni fa. Essa rappresenta il parametro sul quale il Manna si basò per evidenziare il suo "TdG". Ma andiamo con ordine.
Abbiamo appena detto che la caratteristica è propria di
"particolari" formazioni quadratiche. Non di tutte quindi. Allora quali
particolarità devono possedere queste formazioni affinché si abbia la certezza
che il differenziale ultimo sia uguale nei tre casi? Innanzitutto c’è bisogno
che tra due dei quattro numeri che compongono il "quadrato" intercorra la
differenza 45. Non solo. Questi due numeri, posti i quattro in senso crescente
(o decrescente, è la stessa cosa), devono apparire ai vertici di una delle due
diagonali. Se preferite, potete disporre in riga in senso crescente i quattro
numeri e verificare che i due che hanno differenza 45 compaiano al 1° e 3° posto
oppure al 2° ed al 4°. Nel caso proposto ad esempio, abbiamo, infatti:
I due numeri "diametrali", come vedete, compaiono in diagonale
e il "TD" si verifica (lo abbiamo calcolato, ed è pari a 4). Semplificando la
cosa, ponendo i quattro numeri in serie crescente:
5-42-46-87
Come vedete, i numeri della coppia a differenza 45 appaiono al
2° e al 4° posto.
Dunque in mancanza di questi requisiti, qualsiasi fossero i
quattro numeri considerati, non si potrebbe riscontrare la caratteristica del
"TD". Ciò lo si potrebbe dimostrare facilmente con l’uso dell’algebra, ma
evitiamo per non "appesantire" lo scritto.
Riprendiamo i quattro numeri presi ad esempio e proviamo ad
effettuare l’operazione contraria: sommare al posto di sottrarre:
ORIZZONTALI
|
VERTICALI
|
DIAGONALI
|
87 + 5 = somma
2
|
87 + 46 = somma 43
|
87 + 42 = somma
39
|
46 + 42 = somma 88
|
42 + 5 = somma 47
|
46 + 5 = somma
51
|
Alla stregua di quanto fatto per il quadro delle distanze,
sommiamo le tre coppie parziali:
ORIZZONTALI: | 2 + 88 = | 90; |
VERTICALI: | 43 + 47 = | 90; |
DIAGONALI: | 39 + 51 = | 90. |
Anche in questo caso otteniamo un unico valore, che Fabarri
denominò "Triplo Sommativo" (per brevità nel seguito lo indicheremo con
l’abbreviazione "TS"). In pratica si tratta di ciò che in seguito gli esperti
dell’operazione di "quadratura" avrebbero poi ridenominato come "somma delle
somme". Ma il "TS", al contrario del "TD", si verifica con qualsiasi serie di
quattro numeri prendessimo in considerazione (anche qui è semplice dimostrarlo
algebricamente). Allora perché lo abbiamo fatto oggetto di attenzione in questo
caso? La risposta è: avete notato che il "TS" dei quattro elementi presi ad
esempio è pari a 90? Il grande Manna si imbatté casualmente in una formazione
con queste due caratteristiche (una diagonale 45 e il "TS" pari a 90, il cui
totale, chiaramente, risulta 45) per studiarne le peculiarità e per giungere
alla conclusione che:
"Una figura quadrangolare è armonica quando la somma delle somme
dei lati orizzontali oppure verticali o delle diagonali, più la misura di una
delle due diagonali, fa in totale 45".
Nacque così il Teorema della Diagonale, che riscosse molti
consensi tra i ciclometristi dell’epoca (siamo nel 1983), tra i quali il dr.
Antonino Crupi che colse anche l’occasione per compilare un listato che girava
con il famigerato Commodore 64.
La formulazione del TdG suggerisce la possibilità di costruire
quadrati armonici anche non conoscendo tutti e 4 i vertici. E’ ciò che vedremo
in seguito.
Antonio FIACCO
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teoria e soluzioni pratiche
-2^ parte-
Abbiamo accennato al fascicolo di Manna "La Ciclometria" uscito
nelle edicole nel 1991, nel quale il grande studioso presentava una applicazione
su quelle particolari formazioni quadratiche denominate da Fabarri "quadrati
armonici", in quanto aventi una doppia particolarità:
- presenza del Triplo Differenziale;
- somma delle somme pari a 90.
La concomitanza di queste caratteristiche non portava ad altro
che al rispetto di quello che sarebbe stato denominato da Manna come "Teorema
della Diagonale". Infatti se una formazione ha la caratteristica del "TD" è
matematicamente certo che ha almeno una diagonale che misura 45 unità, e se la
somma delle somme è pari a 90 unità è ovvio che il totale tra quest’ultima ed
almeno una delle due diagonali dia 45 (in pratica ciò che afferma il "TdG" di
Manna). E’ per questo che dicemmo che il Manna per formulare il suo Teorema fu
ispirato anche dal rilievo di quelle formazioni quadratiche la cui notorietà è
dovuta a Fabarri.
Finora abbiamo parlato per sommi capi della parte teorica della
cosa. Vediamo allora di sintetizzare il tutto con qualche esempio pratico.
Avvertiamo che non abbiamo certo la pretesa di indicare delle tecniche standard
ma solo il piacere di fornire degli spunti tali da mettere chi legge nelle
condizioni di comprendere appieno quali possano essere gli sviluppi, come al
solito tanti, che possono scaturire dall’applicazione di quanto finora solo
teorizzato.
Il seguente esempio rappresenta praticamente in modo egregio
tutto quanto detto.
Scegliamo una coppia di numeri tra i quali intercorra la
distanza 45 (cioè due numeri diametrali), estratti su due ruote diverse e che
non occupino la stessa posizione. I numeri 33 e 78 estratti rispettivamente al
4° posto di Bari ed al 1° di Genova nell’estrazione n° 14/2000 fanno al caso
nostro. Guardiamo ai due numeri che coprono gli "scarti": al 1° posto di Bari
abbiamo il 54 ed al 4° di Genova il 57. Formiamo due quadrati in questo
modo:
Le due incognite è semplicissimo calcolarle. Se infatti il
nostro intento è quello di costruire dei quadrati che rispettino l’enunciato del
"TdG" e abbiamo già a disposizione una diagonale 45, è ovvio che c’è bisogno che
la somma delle somme risulti uguale a 90. Basterà quindi semplicemente calcolare
il complemento a 90 della somma dei tre numeri noti per avere anche il quarto
vertice, l’incognita che cerchiamo:
- 54 + 33 + 78 = 75 è 90 – 75 = 15;
- 33 + 57 + 78 = 78 è 90 – 78 = 12.
Ecco trovate le nostre due incognite. Nel primo quadrato va
innestato il 15 e nel secondo il 12:
I due quadrati rispettano entrambi le caratteristiche dettate
dal "TdG". Infatti:
- 54 + 33 + 15 + 78 + 45 = 90
- 12 + 33 + 57 + 78 + 45 = 90
La presenza del 45 nei due calcoli ovviamente è riferita alla
misura di una delle due diagonali. Cosa ne facciamo di questi due nuovi numeri?
Andandone a controllare le evoluzioni sulle due ruote del rilievo iniziale
scopriamo che dopo 6 estrazioni uscirono entrambi sulla ruota di Bari!
Un caso estremamente fortunato ma che lascia indubbiamente
pensare molto. Aldilà di ciò, questo esempio presenta ancora una particolarità
che all’occhio del ciclometristi attento non può essere sfuggita. Torniamo un
attimo indietro e analizziamo il secondo dei due quadrati costruiti:
In realtà, inserendo come quarto numero il 12, non abbiamo
fatto altro che completare una formazione dotata di altissimo grado armonico: un
rettangolo. E dal momento che la somma delle somme è 90, è chiaro che non si
tratta di un rettangolo "normale" ma, ci si passi l’espressione, ancora più
simmetrico. Si hanno cioè due coppie di ambi diametrali (12-57 e 33-78) ma anche
due coppie di numeri complementari (12-78 e 33-57). Queste formazioni hanno una
particolarissima caratteristica, per la quale anni fa li denominammo
propriamente "quadrati a triplo zero".
Ovviamente stiamo parlando di un caso particolare che non va ad
innestarsi nello standard di questa pseudo tecnica ma che viene riportato
proprio per avvalorare l’invito ad approfondire sempre e comunque le cose. La
curiosità è il sale della ricerca, se questa viene portata avanti con zelo e
passione!
Calcoliamo il "TD" del quadrato in esame:
DIST. ORIZZONTALI DIST. VERTICALI DIST. DIAGONALI
33 – 12 = distanza 21; 57 – 33 = distanza
24; 57 – 12 = distanza 45;
78 – 57 = distanza 21; 12 – 78 = distanza
24; 78 – 33 = distanza 45.
A quanto ammonta il Triplo Differenziale? A "0". Infatti:
21 – 21 = 0; 24 – 24 = 0; 45 – 45 =
0;
E il Triplo Sommativo? Vediamo:
SOMME ORIZZONTALI SOMME VERTICALI SOMME
DIAGONALI
12 + 33 = somma 45; 57 + 33 = somma
90; 57 + 12 = somma 69;
78 + 57 = somma 45; 12 + 78 = somma
90; 78 + 33 = somma 21.
Ci sembra inutile riportare il quadro delle somme relativo ai
totali parziali. Il "TS", si vede facilmente, è pari a 90. Come tutti coloro che
hanno avuto modo di seguire i nostri articoli nel corso degli anni sanno,
nell’aritmetica cui si riferisce l’insieme ciclico dei numeri contenuti
nell’urna del nostro Lotto, il 90 si identifica anche con lo 0. In pratica è
l’elemento neutro del modulo.
Tornando al nostro esempio, abbiamo quindi una particolarissima
serie di 4 numeri che compongono un "quadrato a triplo zero": formazioni molto
rare da riscontrare nel tessuto estrazionale. E’ chiaro che noi in realtà
abbiamo usato un artifizio per rintracciarla completamente, quello cioè di avere
3 numeri in una estrazione e, dato che il calcolo lo aveva evidenziato, il 4°
numero in un'altra estrazione. Ebbene, ricordate:
"Tutto ciò che è armonico è destinato a rompersi nel ciclo di
frequenza"
(D.Manna)
"Tutto ciò che è realmente armonico è destinato a
rompersi rapidamente"
(A.Fiacco)
Non vi sono dubbi di sorta in merito ai "quadrati" del tipo
analizzato: essi sono inequivocabilmente dotati di un altissimo grado di
simmetria, pertanto certamente armonici.
Passano 7 estrazioni e il quadrato da noi posto in essere, che
il Caso ha voluto comporre interamente seppure in due estrazioni distinte,
collassa: terno 12-33-57 a Genova.
Un esempio più recente. All’estrazione del 16.8.2003 su Bari
viene estratta la coppia 19-18 (3° e 4° posto); nella stessa estrazione abbiamo
a Napoli 26, 3° estratto, e 64, 4° estratto. Lo sviluppo prevede che nei due
quadrati ipotizzati vadano innestati da una parte il 79 e dall’altra il 71.
Questa volta non c’è la concomitanza dei due estratti, ma al 9° colpo escono a
Napoli 71 e 64. Nello stesso tempo, così come abbiamo moltissime volte detto nei
nostri articoli, ci sono la composizione e la rottura simultanee…
Antonio Fiacco
-QUADRATI E DIAGONALI-
teoria e soluzioni pratiche
-3^ parte-
Abbiamo visto come l’applicazione del Teorema della Diagonale
possa portare all’individuazione di formazioni caratteristiche destinate a
produrre lusinghieri risultati. Ovvio, qui non si tratta né di una chiave magica
e tantomeno del toccasana per le tasche di chi gioca, ma solo di un modello che,
se applicato correttamente, può guidare il giocatore nella scelta di elementi
logicamente probabili.
Finora abbiamo impostato le cose per modo che il teorema trovi
applicazione su formazioni complete solo per ¾, cioè "monche" di un elemento,
per modo da calcolarne un quarto che si innesti armonicamente nel costrutto
parziale base. Ovviamente è su questo numero che ruota praticamente il gioco. Ma
avanziamo un’ipotesi:
se disponessimo di soli due numeri e non di tre, sarebbe
possibile ugualmente costruire un "quadrato" che rispetti l’enunciato del
teorema?
A certe condizioni e adottando qualche semplice accorgimento,
ciò è possibile.
Prendiamo ad esempio il seguente "quadrato":
Come potete facilmente notare, abbiamo ipotizzato due numeri
noti* e due incogniti. Come facciamo a
calcolare il valore da assegnare alle incognite? Arriviamoci con
logica.
* NOTA: i numeri noti NON devono essere entrambi pari o
entrambi dispari
Dunque, sappiamo che il teorema afferma che la somma delle
somme del quadrato addizionata alla misura di una delle due diagonali deve dare
come risultato 45. Cos’è la somma delle somme? Come gli appassionati di
Ciclometria sanno, essa non è altro che la somma dei quattro componenti del
quadrato. Nel nostro esempio quindi la somma delle somme (la abbreviamo con
"SdS") è:
SdS = x + 84 + y + 35; è SdS = x + y + 29;
Al valore della "SdS" dobbiamo aggiungere il valore di una
delle due diagonali ed eguagliare il tutto a 45. Il primo problema starebbe
quindi nell’assegnare un certo valore alla diagonale da inserire nell’equazione.
Trattasi di un finto problema, giacché il nostro intento è quello di ottenere un
"quadrato" ciclometrico, il quale, come tutti sapete, ha le diagonali di eguale
misura. E’ chiaro allora che il valore della diagonale ce l’abbiamo già, ed è
quello che corrisponde alla distanza tra i due numeri noti (ecco perché i due
numeri noti li abbiamo inseriti in diagonale!). L’equazione quindi diventa la
seguente:
x
+ y + 29 + 41 = 45; è
x + y = 45 – 29 – 41; è x + y = –25 = 65 (cioè –25 + 90).
Dove la misura della diagonale è 41. Siamo a questo punto nelle
piene condizioni di poterci ricavare le due incognite, sfruttando un teorema
algebrico molto usato dallo stesso Fabarri. Conosciamo la somma che devono avere
le due incognite (l’abbiamo appena calcolata, ed è 65). La differenza la
possediamo fin dall’inizio (ricordate sempre la nota di poc’anzi: abbiamo a che
fare con un quadrato ciclometrico, le cui diagonali sono quindi uguali tra
loro), ed è 41. Risalire alla coppia di incognite, conoscendone i valori di
somma e differenza è un gioco da ragazzi:
1° numero: si addiziona la somma alla differenza e il totale si
divide per 2;
2° numero: si sottrae dal valore di somma il valore del 1°
numero.
Vediamo:
1° numero:
2° numero: 65 – 53 = 12;
Ecco che siamo risaliti all’intero quadrato:
Abbiamo comunque un altro quadrato, simile a quello calcolato,
che dobbiamo matematicamente considerare, ed è quello che si forma con i
diametrali delle due incognite calcolate:
In parentesi abbiamo indicato le distanze dei lati comuni e
della diagonale. Notate come:
12 + 35 + 53 + 84 + 41 = 45; è 8 + 35 + 57
+ 84 + 41 = 45;
La somma delle somme addizionata alla misura della diagonale dà
un totale di 45. Ci eravamo prefissi lo scopo di arrivare a costruire un
quadrato ciclometrico che rispettasse il Teorema della Diagonale di Manna
partendo da due soli numeri? Con l’uso di un pizzico di logica e di qualche
semplice calcoletto ci siamo arrivati.
Come possiamo applicare praticamente questa nuova scoperta? Non
mancate di visitare questa sezione del sito prossimamente…
Antonio
Fiacco
ASPITA !!
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